Harri Mäki aloitti klarinetinsoiton vuonna 1977 opettajanaan Kari Kriikku ja jatkoi opintojaan Reijo Koskisen johdolla Helsingin Konservatoriossa. Opiskeltuaan ensin yksityisesti Baselissa Antony Morfin johdolla Mäki jatkoi Geneven musiikkikorkeakoulussa Thomas Friedlin luokalla ja suoritti Premier Prix de Virtuositen erinomaisin arvosanoin vuonna 1987. Palattuaan Suomeen hän opiskeli vielä Sibelius-Akatemiassa Kullervo Kojon johdolla. Hän on opiskellut yksityisesti Osmo Vänskän, Antony Payn, John McCawn ja Charles Neidichin opastuksella. Vuodesta 1988 lähtien Harri Mäki on toiminut Tapiola Sinfoniettan klarinettiryhmän äänenjohtajana ja kuuluu orkesterin perustajajäseniin. Hän toimii klarinetinsoiton lehtorina Sibelius Akatemiassa. Mäki on esiintynyt solistina ja kamarimuusikkona kotimaan lisäksi useissa Euroopan maissa, Etelä-Amerikassa, Kaukoidässä ja USA:ssa. Harri Mäki on Crusell-viikkojen taiteellinen johtaja.